Question

【题目】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C均在坐标轴上，且OA=4，OC=3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC于点P，连接MP．

（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；

（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B点坐标为（4，3）．点P的坐标为（x，x）；（2）当x=2时，S有最大值，最大值为；(3) M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；

（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；

（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．

试题解析：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴B点坐标为（4，3）．

如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．

∵PG∥AB，

∴△OPG∽△OBA，

∴，即，解得PG=x，

∴点P的坐标为（x，x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM边上的高为x，

∴S=（4-x）x=-x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=-x2+x（0＜x＜4）．

配方，得S=-（x-2）2+，

∴当x=2时，S有最大值，最大值为；

（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：

①如备用图1，

若PO=PM，则OG=GM=CN=x，

即3x=4，解得：x=，

所以M（，0）；

②如备用图2，

若OP=OM，则=OM，

即x=4-x，解得：x=，

所以M（，0）；

③如备用图3，

若OM=PM时，

∵PG=x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，

∴PM2=PG2+GM2=（x）2+（4-2x）2，

∵OM=4-x，

∴（4-x）2=（x）2+（4-2x）2，解得：x=，

所以，M（，0）．

综上所述，M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．