Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，∠BAE=∠EAC，O是AC的中点，AD=DC=2，下面结论：①AC=2AB；②AB=；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥AE，其中正确的个数是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据条件AD∥BC，AE∥CD可以得出四边形AECD是平行四边形，由AD=CD可以得出四边形AECD是菱形，就有AE=EC=CD=AD=2，就有∠2=∠3，有∠1=∠2，∠ABC=90°，可以得出∠1=∠2=∠3=30°，有∠BAC=60°，可以得出AC=2AB，有O是AC的中点，就有BO=AO=CO=AC．就有△ABO为等边三角形，∠1=∠2就有AE⊥BO，由∠1=30°，∠ABE=90°，就有BE=AE=1，由勾股定理就可以求出AB的值，从而得出结论．

∵AD∥BC，AE∥CD，

∴四边形AECD是平行四边形．

∵AD=DC，

∴四边形AECD是菱形，

∴AE=EC=CD=AD=2，

∴∠2=∠3．

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3．

∵∠ABC=90°，

∴∠1+∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠2=∠3=30°，

∴BE=AE，AC=2AB．本答案正确；

∴BE=1，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得

AB=．本答案正确；

∵O是AC的中点，∠ABC=90°，

∴BO=AO=CO=AC．

∵∠1=∠2=∠3=30°，

∴∠BAO=60°，

∴△ABO为等边三角形．

∵∠1=∠2，

∴AE⊥BO．本答案正确；

∵S△ADC=S△AEC=，

∵CE=2，BE=1，

∴CE=2BE，

∴S△ACE=，

∴S△ACE=2S△ABE，

∴S△ADC=2S△ABE．本答案正确．

∴正确的个数有4个．

故选D．