Question

【题目】如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．

（1）写出点D的坐标 ．

（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．

①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；

②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；

③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，﹣1）（2）①二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）③当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．

【解析】（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，

∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．

（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为（3，2），

∴二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，

∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B．

②∵二次函数y2=ax2+bx+c的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，∴2d=2，解得：d=1．令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，

解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，∴点R的坐标为（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

故答案为：（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）．

③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴．

∵二次函数y2=ax2+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），

∴二次函数y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），

∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即=．

∵△GHN∽△EHQ，∴．∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．

设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），

由题意得：，解得：或（舍去）．

故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．