Question

【题目】如图，在△ ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，AD=BD，△ ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数。

Answer 1

【答案】∠BAC=108°，∠B=∠C=36°或∠BAC=90°，∠B=∠C=45°

【解析】

△ ADC是等腰三角形，分类讨论：分AC=DC或AD=DC两种情况；当AC=DC时，利用等腰三角形的等边对等角，设∠B，利用三角形的外角的性质求得∠ADC=∠B+∠BAD，然后利用三角形的内角和构建方程求解即可；当AD=DC时，利用等腰三角形的等边对等角结合三角形内角和定理即可求得答案．

∵ △ ADC是等腰三角形

当AC=DC时

∴ ∠DAC=∠ADC

又∵ AB=AC，AD=BD

∴ ∠B=∠C=∠BAD

设∠B,则∠ADC= ∠B+∠BAD

∴∠DAC=∠ADC，∠BAC=∠DAC+∠BAD

于是在△ ABC中，有 ∠B+∠C+∠BAC180°

解得

所以，在△ ABC中，∠BAC=108°，∠B=∠C=36°

当AD=DC时，如下图：

∵AD=DC，

∴∠2=∠C，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C

∵AD=BD，

∴∠B=∠1，

∴∠B=∠C=∠1=∠2，

∵∠B+∠C+∠1+∠2＝180，

∴∠B+∠C＝45，∠1+∠2＝90°，

∠BAC＝∠1+∠2＝90°，

所以，在△ ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°