Question

【题目】如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD =∠BCE = 90°，点M为AN的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N。

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：AD=NE ；

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，证明见解析

【解析】

（1）由EN∥AD，点M为AN的中点，利用AAS证得△ADM≌△NEM，从而得到结论；

（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形；

（3）借鉴（2）中的解题经验可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°-∠CBN，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．

（1）如图1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵点M为AN的中点，

∴AM=MN．

在△ADM和△NEM中，

∴△ADM≌△NEM(AAS)．

∴AD=NE；

（2）如图2，

∵BAD和△BCE均为等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三点在同一直线上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵点M为AN的中点，

∴AM=MN．

在△ADM和△NEM中，

∴△ADM≌△NEM(AAS)．

∴AD=NE．

又∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC(SAS)．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．

（3）△ACN仍为等腰直角三角形．

如图3，

此时A、B、N三点在同一条直线上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），AD=NE．

又∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC(SAS)．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．