Question

【题目】下图是一座抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4 m．从O，A 两处观测P 处，仰角分别为α，β，且tanα＝ ，tanβ＝.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．

(1)求点P的坐标；

(2)若水面上升1 m，则水面宽多少米（ 取1.41，结果精确到0.1 m)?

Answer 1

【答案】（1）点P 的坐标为(3， )；（2）水面上升1 m，则水面宽约2.8 m.

【解析】

（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．

(1)如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B.设点P 的坐标为(x，y)．在Rt△POB 中，

∵tanα＝，

∴ OB＝＝2y.

在Rt△PAB 中，∵tanβ＝，

∴ AB＝y.

∵ OA＝OB＋AB，

即2y＋y＝4，

∴ y＝.

∴ x＝2×＝3.

∴ 点P 的坐标为(3，)．

(2)设这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx，由函数图象经过(4，0)，(3，)两点，可得解方程组，得，

∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋2x.当水面上升1 m 时，水面的纵坐标为1，即－x2＋2x＝1，解得x1＝2－，x2＝2＋，

∴x2－x1＝2＋－(2－)＝2≈2.8.

因此，若水面上升1 m，则水面宽约2.8 m.