Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)三点．

(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；

(2)点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

Answer 1

【答案】（1） y＝－x2＋x＋2；（2）当点P运动到点(1，2)的位置时，四边形ABPC的面积最大．

【解析】

（1）设交点式y=a（x+1）（x-2），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

（2）连结OP，如图，设P（t，-t2+t+2），根据三角形面积公式，利用四边形ABPC的面积=S△AOC+S△POC+S△OBP可表示出四边形ABPC的面积=-t2+2t+3，然后利用二次函数的性质确定P点坐标．

(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点C(0，2)，∴c＝2.

把A(－1，0)，B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋2，得

解得.

∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.

(2)设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)，四边形ABPC的面积为S.连接OP，

则S＝S△AOC＋S△OCP＋S△OBP

＝×1×2＋×2x＋×2×(－x2＋x＋2)＝1＋x－x2＋x＋2

＝－x2＋2x＋3

＝－(x－1)2＋4.

∵a＝－1＜0，

∴当x＝1时，四边形ABPC的面积最大．

当x＝1时，y＝－x2＋x＋2＝2，

∴点P的坐标为(1，2)．

即当点P运动到点(1，2)的位置时，四边形ABPC的面积最大．