Question

【题目】已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，点O是线段AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A逆时针旋转α度得到△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PN、PB.

（1）如图1，当α=180°时，直接写出线段PN和PB之间的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当α=90°时，探究线段PN和PB之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；

（3）如图3，直接写出当△AOB在绕点A逆时针旋转的过程中，线段PN的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1)PN=PB，PN⊥PB；(2)略；(3)

【解析】（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ANM,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到PN和之间的位置关系和数量关系；（2）结论一样，证明的方法与（1）一样；（3）连接OP，利用勾股定理可得出线段PN的最大值和最小值.

解：（）， ．

（）连接，

∵，

∴．

∵，

∴．

∵≌，

∴， ，

∴， ,

又∵,

∴四边形为正方形．

∵为中点， 为中点，

∴，

∴， ，

∴．

∵，

∴．

≌，

∴， ．

∵，

∴，

∴．

（）连接．

∵， 为， 中点，

∴．

在中，

∵， ，

∴．

．

∵，

∴．

最大值为，最小值为．