Question

【题目】实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm.

(1)开始注水1分钟，丙的水位上升________cm；

(2)开始注入________分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5 cm.

Answer 1

【答案】 或

【解析】（1）根据题意可知，进入乙丙中的水的体积相等，而乙丙的底面积半径之比为2:1，结合圆柱的体积公式即可求出乙丙的水位之比，进而求解题（1）；

欲求解乙的水位比甲高0.5cm，需要分甲的水位不变和乙的水位到达管子底部，（2）甲的水位上升两种情况讨论，可现设出未知数，即开始注入t分钟水后满足条件；当甲的水位不变时，需要判断丙的水位是否到达管子底部，有没有向乙溢水，根据题意可列出t-1=0.5，解出t并求出此时丙中水位，若丙中水位大于5则溢出，若小于5则没有溢出；解得丙中水向乙中溢出水，而甲中水位不变根据两者之差为0.5cm即可列出一元一次方程求解即可；第二种情况，需先求出乙的水位到达管子底部的时间，进而根据甲乙两者的水位差为0.5cm的等量关系列出一元一次方程求解.

（1）∵向乙和丙注入相同量的水即注入水的体积相同，而他们的底面半径之比为2:1，

根据圆柱的体积公式可知乙、丙的水位之比为：1:4.

∵当注水1分钟，乙的水位上升cm，

∴注水1分钟，丙的水位上升×4=cm.

（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：

①当甲的水位不变时，

∵t-1=0.5，

解得t=，

∵×=6＞5，

∴此时丙容器已向甲容器溢水.

∵5÷=（分钟），×=（cm），即经过32分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升cm，

∴+2× (t-)-1=0.5，解得t=.

②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，

∵乙的水位到达管子底部的时间为：+(5-)÷÷2=（分钟），

∴5-1-2× (t-)=0.5，

解得t=.

综上所述开始注水或分钟后，乙的水位比甲高0.5cm.