Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：

（1）如下图，连接OD，由OA=OD可得∠DAO=∠ADO，结合∠CAD=∠DAB，可得∠CAD=∠ADO，从而可得OD∥AC，由此可得∠C+∠CDO=180°，结合∠C=90°可得∠CDO=90°即可证得CD是⊙O的切线；

（2）如下图，连接BD，由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°=∠C，结合∠CAD=∠DAB可得△ACD∽△ADB，由此可得，在Rt△ABD中由AD=6，AB=9易得BD=，由此即可解得CD的长了.

详解：

（1）如下图，连接OD．

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ODA，

∵∠CAD=∠DAB，

∴∠ODA=∠CAD

∴AC∥OD

∴∠C+∠ODC=180°

∵∠C=90°

∴∠ODC=90°

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）如下图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=9，AD=6，

∴BD===3，

∵∠CAD=∠BAD，∠C=∠ADB=90°，

∴△ACD∽△ADB，

∴，

∴，

∴CD=．