Question

【题目】如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；②若⊙O的半径是1，AB= ，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）90；45°或135°
（2）解：根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，

第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，

∠APB=∠MAN+∠ANB

【解析】解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90． ②解：如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB= ，
∴ + = ．
∴∠AOB=90°．
当点P在优弧 上时，∠APB= ∠AOB=45°；
当点P在劣弧 上时，∠AP′B= （360°﹣∠AOB）=135°

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对垂径定理的理解，了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．