Question

【题目】如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F.

（1）∠AOD和∠BOC是否互补？说明理由；

（2）射线OF是∠BOC的平分线吗？说明理由；

（3）反向延长射线OA至点G，射线OG将∠COF分成了4：3的两个角，求∠AOD.

Answer 1

【答案】（1）互补；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）54°或

【解析】

（1）根据和等于180°的两个角互补即可求解；

（2）通过求解得到∠COF=∠BOF，根据角平分线的定义即可得出结论；

（3）分两种情况：①当∠COG：∠GOF=4：3时；②当∠COG：∠GOF=3：4时；进行讨论即可求解．

（1）因为∠AOD+∠BOC=360°﹣∠AOB﹣∠DOC=360°﹣90°﹣90°=180°，

所以∠AOD和∠BOC互补．

（2）因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠DOE，

因为∠COF=180°﹣∠DOC﹣∠DOE=90°﹣∠DOE，

∠BOF=180°﹣∠AOB﹣∠AOE=90°﹣∠AOE，

所以∠COF=∠BOF，即OF是∠BOC的平分线．

（3）因为OG将∠COF分成了4：3的两个部分，

所以∠COG：∠GOF=4：3或者∠COG：∠GOF=3：4．

①当∠COG：∠GOF=4：3时，设∠COG=4x°，则∠GOF=3x°，

由（2）得：∠BOF=∠COF=7x°

因为∠AOB+∠BOF+∠FOG=180°，

所以90°+7x+3x=180°，

解方程得：x=9°，

所以∠AOD=180°﹣∠BOC=180°﹣14x=54°．

②当∠COG：∠GOF=3：4时，设∠COG=3x°，∠GOF=4x°，

同理可列出方程：90°+7x+4x=180°，

解得：x = ，

所以∠AOD=180°﹣∠BOC=180°﹣14x．

综上所述：∠AOD的度数是54°或．