Question

【题目】如图所示，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点．

（1）若△PEF的周长为20，求MN的长．

（2）若∠O=50°，求∠EPF的度数．

（3）请直接写出∠EPF与∠O的数量关系是_____________________________

Answer 1

【答案】（1）20；（2）80°；（3）∠EPF= 180°-2∠O

【解析】

（1）根据轴对称的性质可得EM=EP，FP=FN，进而推出MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长即可；

（2）由（1）及等腰三角形的性质、四边形的内角和找出∠M+∠N与∠O、∠EPF与∠O的关系即可；

（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.

解：（1）∵点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点．

∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，

∴EM=EP，FP=FN，

∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周长，

又∵△PEF的周长为20，

∴MN=20 cm.

（2）由（1）知：EM=EP，FP=FN，

∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，

∵∠PCE=∠PDF=90°，

∴在四边形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，

又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，

∴∠M+∠N=∠O=50°.

∴在△PEF中，∠EPF +∠PEF+∠PFE=∠EPF +2∠M +2∠N =180°，

即∠EPF=180°-2∠M -2∠N =180°-2(∠M +∠N)= 180°-2∠O=80°.

（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.

故答案为：∠EPF= 180°-2∠O.