Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若OB=5，BC=18，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵AB是直径，

∴∠BDA=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

又∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）OC=BC﹣OB=18﹣5=13，

直角△OCD中，OD=OB=5，

CD= = =12，

∵BE是圆的切线，

∴∠EBC=90°，

同理∠ODC=90°，

∴∠EBC=∠ODC，

又∵∠C=∠C，

∴△EBC∽△ODC，

∴ = ，即 = ，

解得：BE= ．

【解析】（1）连接OD，根据AB所对的角是直角，以及等边对等角，证明∠ODC=90°，则可以证得；（2）在直角△ODC中利用勾股定理求得CD的长，然后根据△ABC∽△ODC，利用相似三角形的对应边相等即可求解．