Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F.（1）若OA=10，求反比例函数的解析式；

（2）若F为BC的中点，且S△AOF＝24，求OA长及点C坐标；

（3）在（2）的条件下，过点F作EF∥OB交OA于点E（如图2），若点P是直线EF上一个动点，连结，PA，PO，问是否存在点P，使得以P，A，O三点构成的三角形是直角三角形？若存在，请指出这样的P点有几个，并直接写出其中二个P点坐标；若不存在，请说明了理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）C（）；（3）P1（），P2（），P3（），P4（）

【解析】分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据∠AOB=60°，得出AHAH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=24，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=12，最后根据S平行四边形AOBC=OBAH，得出OB=AC=12，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．

详解：

（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵∠AOB=60°，OA=10，

∴AH=，OH=5，∴A点坐标为（5，），根据题意得：

，可得：k=，

∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，

∵∠AOB=60°，

∴AH=a，OH=，

∴S△AOH=，

∵S△AOF=，

∴S平行四边形AOBC=，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=，BM=a，

∴S△BMF=BM*FM=，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF= ，

∵点A，F都在y=的图象上，

∴S△AOH=k，

∴，

∴a=，

∴OA=8，

∴AH=，OH=，

∵S平行四边形AOBC=OB*AH=，

∴OB=，

∴C（）；

（3）存在三种情况：这样的P点有四个

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（），P2（），

当∠PAO=90°时，P3（），

当∠POA=90°时，P4（）