Question

【题目】已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE．

∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°．

即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴ ．

连接CD．

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE．

∴ ．

∴ ．

则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm

【解析】连接OD，先证明DO∥MN，根据DE⊥MN，证明OD⊥DE．可得出DE是⊙O的切线。
（2）根据已知易证得△ACD∽△ADE．由相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程求得AC的长，即可求出结果。