Question

【题目】平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．

发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．

Answer 1

【答案】解：发现：如图2，

设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，

过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ= = ，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°= ，

∴S△PRK= RE= ，

∴S阴影= + ；

拓展：如图5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴ ，即 ，

∴BN= ，

如图4，

当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，

∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；

探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；

①如图5，

半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，

则∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS= =2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG= KO′= ﹣ ，

∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，

②当半圆K与AD相切于T，如图6，

同理可得sinα= = = = ；

③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，

∴α=60°，

∴sinα=sin60°= ；

综上所述sinα的值为： 或 或

【解析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，根据直角三角形的直角边与斜边的关系得出∠POH=30° ；进而求得α的度数，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠RKQ的度数，然后利用S阴影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根据相似三角形对应边成比例即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，根据勾股定理求出BQ=AF的值，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．