Question

【题目】某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费用x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：y=﹣0.001x2+0.06x+1．

（1）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）；

（2）如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，求年利润S的最大值；

（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间（含端点），请从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）S═﹣x2+29x+500（2）年利润S的最大920.5（3）从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围为12≤x≤24

【解析】

（1）根据利润=（销售单价-成本）×销售量-广告费用，列出函数关系式，化简成一般式即可得；

（2）将（1）中二次函数一般式配方成二次函数的顶点式，由x的范围结合二次函数的性质即可得；

（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间，则有776≤s≤908，据此列不等式求解即可.

（1）S=（250﹣200）10y﹣x=﹣x2+29x+500，

答：年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式S═﹣x2+29x+500，

（2）∵S=﹣（x﹣29）2+920.5（10≤x≤50），

∴当10≤x＜29时，S随着x的增大而增大

当29＜x≤50时，S随着x的增大而减小

当S=29时，S有最大值为920.5．

年利润S的最大920.5．

（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间，即：776≤s≤908，

则：776≤﹣x2+29x+500≤908，

由于x＜29时，S随着x的增大而增大，而最大利润是920.5，所以，x＜29，

解上述不等式得：12≤x≤24．

答：从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围为12≤x≤24．