Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点.

（1）试求抛物线的解析式；

（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；

（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x＋3.(2) t＝时，最大值为.(3) 存在．N1(0，－3)，N2(－，3)，N3(，3)，N4(－5，3)．

【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连结PB、PC，可先求得直线BC的解析式，则可用t分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用t表示出△PBC的面积，再利用等积法可用t表示出h，利用二次函数的性质可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连结PB、PC．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，BC＝，
设直线BC解析式为y=kx+n，则，解得

∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵点P的横坐标为t，且在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴P（t，-t2+2t+3），
又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
∴D（t，0），E（t，-t+3），
∴PE=（-t2+2t+3）-（-t+3）=-t2+3t，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PEBD+PEOD＝PE(BD+OD)＝PEOB= (t2+3t)×3＝t2+t，
又∵S△PBC＝BCPH＝×3h＝h，
∴h＝t2+t，
∴h与t的函数关系式为：h＝t2+t（0＜t＜3），
∵h＝t2+t＝ (t)2+，
∴当t＝时，h有最大值为；
（3）存在．
若AM为菱形对角线，则AM与CN互相垂直平分，
∴N（0，-3）；
若CM为菱形对角线，则CN＝AM＝AC＝＝，
∴N(，3)或N(，3)；
若AC为菱形对角线，则CN=AM=CM，
设M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=（m+1）2，解得m=4，
∴CN=AM=CM=5，
∴N（-5，3）．
综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：N1（0，-3），N2(，3)，N3(，3)，N4（-5，3）．