Question

【题目】问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）

问题情境2

如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）

问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：

已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；

（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．

Answer 1

【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）

【解析】

问题情境1：过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠P+∠D=360°；

问题情境2：过点P作EP∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；

②，③根据①中的方法可得出结论；

问题迁移：

（1）如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；

（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；

（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．

问题情境1：

如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：

过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，

∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，

即∠B+∠BPD+∠D＝360°，

故答案为：∠B+∠P+∠D＝360°；

问题情境2

如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：

过点P作EP∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EP，

∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，

∴∠BPD＝∠B+∠D，

即∠P＝∠B+∠D；

故答案为：∠P＝∠B+∠D；

问题迁移：

（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，

∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，

由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∵∠E＝80°，

∴∠ABE+∠CDE＝280°，

∴∠EBF+∠EDF＝140°，

∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；

（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：

∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，

由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∴6x+6y+∠E＝360°，

∠E＝60﹣x﹣y，

∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，

∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，

∴∠M＝x+y，

∴∠E+∠M＝60°；

（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，

由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∴2nx+2ny+∠E＝360°，

∴x+y＝，

∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，

∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，

∴∠M＝；

故答案为：∠M＝．