Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．

（2）求证：EF与MN互相垂直．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质和全等三角形的性质得出∠A＝90°，即可得出结论；

（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再证明平行四边形MENF是菱形，即可得出结论．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠A+∠D＝180°，

又∵△ABM≌△DCM，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，

∴NE＝FM，NE∥FM，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分别是BM、CM的中点，

∴ME＝MF，

∴平行四边形MENF是菱形，

∴EF与MN互相垂直．