Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）能，（0，1）、（，）或（，）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；

（2）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；

（3）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值.

试题解析：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

，

解得，

故抛物线为y=-x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直线AC为y=x+1；

（2）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1），

①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=-x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

则F（x，x-1）

由F在抛物线上

∴x-1=-x2+2x+3

解得x=或x=

∴E（，）或（，）

综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；

（3）如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

=PQ AG

=（-x2+x+2）×3

=-（x-）2+

∴面积的最大值为．