Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝，AD＝2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为_____．

Answer 1

【答案】1、、2﹣

【解析】

过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．

①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，

则CM∥AE，DM＝MF，

延长CM交AD于点G，

∴AG＝GD＝1，

∴CE＝1，

∵CG∥AE，AD∥BC，

∴四边形AGCE是平行四边形，

∴CE＝AG＝1，

∴BE＝1

∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形；

②DF＝DC时，则DC＝DF＝，

∵DF⊥AE，AD＝2，

∴∠DAE＝45°，

则BE＝，

∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；

③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．

∵AB＝，BE＝x，

∴AE＝，

AF＝，

∵△ADF∽△EAB，

∴，

，

x2﹣4x+2＝0，

解得：x＝2±，

∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．

综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．

故答案为：1、、2﹣．