Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．

（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；

（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x=3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y=kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+4x+2，顶点坐标为（1，4）；（2）﹣8＜b＜﹣2或b=4．

【解析】

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、c的方程组，通过解该方程可以求得它们的值．由函数解析式求得顶点坐标；
（2）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

（1）∵抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2），

可得：

解得：

∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2．

∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标为（1，4）；

（2）设点B（0，2）关于x=3的对称点为B’，则点B’（6，2）．

若直线y=kx+b经过点C（9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．

若直线y=kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．

直线y=kx+b平行x轴时，b=4．

综上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．