Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接CE，若CE=6，AC=8，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，如图，

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠3

又∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AC平分∠DAB

（2）解：连接BC，BE，BE交OC于F，如图，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

易得四边形DEFC为矩形，

∴OC⊥BE，

∴ = ，

∴BC=CE=6，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =10，

∵∠3=∠2，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AD= =6.4，

∵∠DEC=∠ABC，

∴Rt△DEC∽Rt△CBA，

∴DE：BC=CE：AB，

∴DE= =3.6，

∴AE=AD﹣DE=6.4﹣3.6=2.8

【解析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可证明OC∥AD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，于是得到∠2=∠3；（2）连接BC，BE，BE交OC于F，如图，先利用圆周角定理得到∠AEB=90°，易得四边形DEFC为矩形，则OC⊥BE，根据垂径定理得到 = ，所以BC=CE=6，于是可计算出AB=10，接着证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比计算出AD，证明Rt△DEC∽Rt△CBA，利用相似比计算出DE，然后计算AD﹣DE即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．