Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AH折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．折痕与边BC交于点 H，已知AD=8，HC：HB=3：5．

（1）求证：△HCP∽△PDA；
（2）探究AB与HB之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）连结BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折叠的性质可知，

∠APH=∠B=90°，

∴∠APD+∠HPC=90°，

又∠PHC+∠HPC=90°，

∴∠APD=∠PHC，

又∠D=∠C=90°，

∴△HCP∽△PDA

（2）

解：AB=2BH．

∵HC：HB=3：5，

设HC=3x，则HB=5x，

在矩形ABCD中，BC=AD=8，

∴HC=3，则HB=5

由折叠的性质可知，HP=HB=5，AP=AB，

在Rt△HCP，根据勾股定理得，PC=4，

由（1）知，△HCP∽△PDA

∴ ，

∴AP= =10，

∴AB=AP=10=2BH，即AB=2BH

（3）

解：EF的长度不变．

如图，作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP=∠ABP，

由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，

∴MQ=BN，

∵MQ∥AB，

∴ ，

∴QF=FB，

∵MP=MQ，ME⊥BP，

∴PE=QE，

∴EF= PB，

由（2）得，PC=4，BC=8，

∴PB= =4 ，

∴EF=2

【解析】（1）先利用等角的余角相等得出∠APD=∠PHC，即可得出结论；（2）先求出HC=3，HB=5，进而得出HP=5，再用勾股定理求出PC，最后用△HCP∽△PDA得出的比例式即可得出结论；（3）先判断出MQ=BN，进而得出QF=FB，再判断出EF= PB，最后用勾股定理求出PB即可得出结论．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和翻折变换（折叠问题）是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．