Question

【题目】如图，平行四边形．

（1）如图，点在延长线上，，求证：点为中点．

（2）如图，点在中点，是延长线上一点，且，求证：．

（3）在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（先补全图形再解答）．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）四边形ACPE是平行四边形，补图与证明见详解．

【解析】

（1）先由平行四边形ABCD可得AD∥BC，AD＝BC，再证四边形BDEC为平行四边形可得BC＝DE，再等量代换即可得证；

（2）连接CE，根据三线合一可证得∠AEC＝90°，结合∠DEF＝90°，可得∠AED＝∠CEF，根据∠ACB＝90°，E为AB中点可得CE＝AE，再结合∠DAE＝∠ECF＝135°即可证得△DAE≌△ECF进而得证；

（3）四边形ACPE是平行四边形，理由如下：先证得∠CEB＝∠EBP＝∠ECP＝90°可得矩形BECP，进而得CP＝BE等量代换得AE＝CP，再结合AE∥CP即可得证．

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵AD∥BC，CE∥BD，

∴四边形BDEC为平行四边形，

∴BC＝DE，

又∵AD＝BC，

∴AD＝ DE，

∴点D为AE中点．

（2）如图，连接CE，

∵AD⊥AC，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝90°，

∵AD＝BC，AD＝AC，

∴BC＝AC，

∵BC＝AC，点E为AB中点，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

∴∠AED＋∠DEC＝90°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF＋∠DEC＝∠DEF＝90°，

∴∠CEF＝∠AED，

∵∠ACB＝90°，BC＝AC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAB＝135°，

∵∠ACB＝90°，点E为AB中点，

∴CE＝AE＝AB，

∴∠ACE＝∠CAB＝45°，

∴∠FCE＝180°－∠ACE＝135°，

∴∠FCE＝∠DAE，

在△DAE和△FCE中，

，

∴△DAE≌△FCE（ASA），

∴DE＝EF．

（3）如图，

四边形ACPE是平行四边形，理由如下：

∵△DAE≌△FCE，

∴AD＝CF，

∵AD＝BC，

∴BC＝CF，

又∵∠FCB＝180°－∠ACB＝90°，

∴∠CBF＝∠CFB＝45°，

∵∠CBA＝45°，

∴∠EBF＝∠CBF＋∠CBA＝90°，

∵AB∥CD，∠BEC＝90°，

∴∠ECP＝180°－∠BEC＝90°，

∴∠ECP＝∠BEC＝∠EBF＝90°，

∴四边形BECP为矩形，

∴BE＝CP，

又∵AE＝BE，

∴AE＝CP，

∵AE＝CP，AE∥CP，

∴四边形ACPE是平行四边形．