Question

【题目】如图，双曲线y= 经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=﹣ 于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=﹣ 、y= 于点P、Q．

（1）求k的值；
（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；
（3）△OCQ的面积记为S△OCQ ， △OAP的面积记为S△OAP，试比较S△OCQ与S△OAP的大小（直接写出结论）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵双曲线y= 经过点A（1，2），

∴k=1×2=2；

（2）解：设P（﹣ ，m），

∵A（1，2），

∴OA2=12+22=5，AP2=（1+ ）2+（2﹣m）2，OP2=（ ）2+m2，

当∠AOP=90°时，

∵OA2+OP2=AP2，即5+（ ）2+m2=（1+ ）2+（2﹣m）2，解得m=±3，

∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；

当∠OAP=90°时，

∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+ ）2+（2﹣m）2=（ ）2+m2，解得m= ，

∴P3（ ），P4（ ）；

当∠APO=90°时，此种情况不存在；

（3）解：∵A（1，2），

∴C（﹣9，2）．

设P（﹣ ，m），则Q（ ，m），

分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，

∵点A、Q在反比例函数y= 的图象上，

∴S△AOM=S△QON=1．

∵点C、P在反比例函数y=﹣ 的图象上，

∴S△COH=S△POK=9．

S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，

∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，

∵梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，

∴只要比较HN与KM的大小即可，

∵HN﹣KM=（9+ ）﹣（1+ ）=8﹣ ，

∴当m=±2时，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；

当m＞2或m＜﹣2时，8﹣ ＞0，即S△OCQ＞S△OAP；

当﹣2＜m＜2时，8﹣ ＜0，即S△OCQ＜S△OAP．

【解析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
（2）设出点P的坐标，根据点A、P、O的坐标，分别求出OA2、AP2、OP2，再分三种情况讨论：当∠AOP=90°时，得出OA2+OP2=AP2，建立关于m的方程，求解即可求出点P的坐标；当∠OAP=90°时，则OA2+AP2=OP2，建立关于m的方程，求解即可求出点P的坐标；当∠APO=90°时，此种情况不存在。
（3）根据点A（1，2）可得出C（﹣9，2）．分别设出点P、Q的坐标，分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，再由反比例函数图像上的点的坐标特点得出△AOM、△QON、△COH、△POK的面积，然后根据S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，由于梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，因此只需比较HN与KM的大小即可，从而分三种情况讨论，可求得结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的性质的相关知识，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大，以及对三角形的面积的理解，了解三角形的面积=1/2×底×高．