Question

【题目】在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；
（3）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：所作图形如图1所示：

（2）

解：连接AD，如图1．

∵点D与点B关于直线AP对称，

∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴AD=AC，∠DAC=120°，

∴2∠ACE+60°+60°=180°，

∴∠ACE=30°

（3）

解：线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．

证明：连接AD，EB，如图2．

∵点D与点B关于直线AP对称，

∴AD=AB，DE=BE，

∴∠EDA=∠EBA，

∵AB=AC，AB=AD，

∴AD=AC，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠ABE=∠ACE．

设AC，BE交于点F，

又∵∠AFB=∠CFE，

∴∠BAC=∠BEC=60°，

∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．

【解析】（1）根据题意作出图形；（2）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（3）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．