Question

【题目】如图1所示，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴的负半轴、正半轴上，且AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB于点D．

（1）求证：BD＝3AD；

（2）如图2，点E在OD的延长线上，连接BE，在线段BE上取点F，连接CF分别交OE、AB于点G、H（点G、H、D互不重合），若FE＝FG，求证：∠EBA﹣∠BCF的度数为定值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，若C（4，0），A（0，4），求S△ECG．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S△EGC＝12.

【解析】

（1）根据直角三角形中的正余弦定理，可得到BD与AD的长度关系.（2）根据三角形的内角和公式，可得∠EBA﹣∠BCF＝30°.（3）以B为圆心，BO长为半径画弧交ED于点M，连接BM，过点C作EO的垂线，交EO的延长线于点N，再根据全等三角形性质，可得S△EGC.

解：（1）∵AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB

∴∠ABC＝30°，∠ODB＝90°，

∴∠BOD＝60°，

∴∠AOD＝30°，

∴AD＝OA，OA＝AB

∴OA＝2AD，AB＝2AO，

∴AB＝4AD，

∴BD＝3AD．

（2）∵FE＝FG，

∴设∠E＝∠EGF＝α，

∴∠OGC＝α，

∵∠DOB＝60°，

∴∠BCF＝60﹣α，

∵∠EDB＝90°，

∴∠EBA＝90°﹣α，

∴∠EBA﹣∠BCF＝30°，

∴∠EBA﹣∠BCF的度数为定值．

（3）如图1所示，以B为圆心，BO长为半径画弧交ED于点M，连接BM，过点C作EO的垂线，交EO的延长线于点N，

∴BM＝OC，∠EMB＝∠GOC＝120°，

∵∠BEM＝∠OGC，

∴△EMB≌△GOC（AAS），

∴EM＝OG，

∴EG＝MO＝BO＝4，

∵∠CON＝60°，∠N＝90°，

∴∠OCN＝30°，

∴ON＝OC＝2，

∴CN＝6，

∴S△EGC＝EGCN＝4×6×＝12．