Question

【题目】点P(t，0)是x轴上的动点，Q(0，2t)是y轴上的动点．若线段PQ与函数y=﹣|x|2+2|x|+3的图象只有一个公共点，则t的取值是_____________．

Answer 1

【答案】≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3

【解析】函数y=-|x|2+2|x|+3的解析式可化为：

y=

设线段PQ所在的直线的解析式为：y=kx+b，

将P（t，0）、Q（0，2t）代入得： ，解得： ，

∴线段PQ所在的直线的解析式为：y=-2x+2t；

①当线段PQ过（0，3）时，即点Q与C重合，如图1，

2t=3，t=，

∴当t=时，线段PQ与函数y=只有一个公共点；

当线段PQ过（3，0）时，即点P与A（3，0）重合，如图2，

t=3，

此时线线段PQ与函数y=有两个公共点，

∴当≤t＜3时，线段PQ与函数y=只有一个公共点；

②将y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3（x≥0）中得，

-x2+2x+3=-2x+2t，

-x2+4x+3-2t=0，

△=16-4×（-1）×（3-2t）=28-8t=0，

t=，

∴当t=时，线段PQ与函数y=也只有一个公共点；

③当线段PQ过B（-3，0），如图3，即P与B（-3，0）重合，线段PQ只与y=-x2-2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=-3，

∴当t≤-3时，线段PQ与函数y=也只有一个公共点；

综上所述，当线段PQ与函数y=-|x|2+2|x|+3只有一个公共点时，t的取值是≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3，

故答案为： ≤t＜﹣3或t=或t≤﹣3.