Question

【题目】在△ABC中，∠A90°，ABAC．

（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“”是否正确：________（填“是”或“否”）；

（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB PA．

①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；

②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）否；（2）①45°；②．

【解析】试题分析：

（1）如图4，把△AQC顺时针旋转90°得到△AQ1B，连接QQ1，则由题意易得QQ1=AQ，由已知条件可证∠BQ1Q∠Q1BQ，从而可得BQQQ1=AQ；

（2）①如图5，过点PD⊥AB于点，结合∠ABP=30°可得PD=PB，结合PB=PA可得PD=PA，由此即可得到sin∠PAB=，结合∠PAB是锐角即可得到∠PAB=45°；

②如图6，把△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，连接DC，DP，则由旋转的性质可得： ∠1=∠2，PB=CD，∠DAP=90°，AD=AP，由此可得PD=PA，结合PB=PA可证得PD=DC，从而得到∠PCD=∠CPD=45°+α，由此可得∠3=180°-2∠CPD=90°-2α，结合∠1=∠2= ，可得∠1+∠3=90°- =∠ADP=45°，变形即可得到： .

试题解析：

（1）如图4，把△AQC绕点A顺时针旋转90°得到△AQ1B，连接QQ1，

由旋转的性质可得：AQ1=AQ，∠Q1AQ=90°，

∴QQ1=AQ，

∵BQ、CQ分别平分∠ABC、∠ACB，

∴AQ平分∠BAC，

∴∠AQ1C=∠AQC=112.5°，

∴∠BQ1Q=112.5°-45°=67.5°，

∵∠Q1BQ=45°，

∴∠Q1BQ∠BQ1Q，

∴BQQ1Q=AQ.

故答案为：“否”；

（2）① 如图5，作PD⊥AB于D，则∠PDB=∠PDA=90°，

∵ ∠ABP=30°，

∴.

∵，

∴.

∴.

又∵∠PAB是锐角，

∴∠PAB=45°.

②，理由如下：

如图6，把△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，连接DC，DP，则由旋转的性质可得： ∠1=∠2，PB=CD，∠DAP=90°，AD=AP，

∴，∠ADP=∠APD=45°.

又∵，

∴ PD=PB=CD.

∴ ∠DCP=∠DPC.

∵ ∠APCα，∠BPCβ，

∴， .

∴.

∴.

∴.