Question

【题目】中，三个内角的平分线交于点.过点作，交边于点.

（1）如图1，

①若，则___________，_____________；

②猜想与的关系，并说明你的理由：

（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点.若，，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）①，；②，见解析；（2）.

【解析】

（1）①根据三角形的内角和得到∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=70°，根据三角形的内角和即可得到结论；

②设∠ABC=α，根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论．

（1）①∵∠ABC=40°，

∴∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，

∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，

∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=70°，

∴∠AOC=180°-70°=110°，

∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=20°，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠BDO=70°，

∴∠ADO=110°，

故答案为：110°，110°，

②相等，理由设∠ABC=α，

∴∠BAC+∠BCA=180°-α，

∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，

∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=90°-α，

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+α，

∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=α，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠BDO=90°-α，

∴∠ADO=180°-∠BOD=90°+α，

∴∠AOC=∠ADO；

（2）由（1）知，∠ADO=∠AOC=105°，

∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACB，

∴∠FBE=∠ABE，∠FCB=∠ACB，

∴∠FBE=∠F+∠FCB=（∠BAC+∠ACB）=∠BAC+∠FCB，

∴∠BAC=2∠F=64°，

∴∠DAO=∠BAC=32°，

∴∠AOD=180°-∠ADO-∠DAO=43°．