Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点．边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点E是对角线AC上一点，连接OE、BE，BE的延长线交OA于点P，若△OCE的面积为12．

（1）求点E的坐标；

（2）求△OPE的周长．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标是（4，2）；

（2）△OPE的周长为.

【解析】（1）过点E作EM⊥y轴于点M，根据面积公式EM=4，根据正方形性质求出CM=ME=4，即可求出答案；

（2）根据全等求出BE=OE，求出直线BE的解析式，求出P的坐标，根据勾股定理求出BP，即可求出答案.

解：（1）过点E作EM⊥y轴于点M，

∴OCEM=12，

即×6×EM=12， ∴EM=4，

∵四边形OABC是正方形，∴∠MCE=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形， ∴MC=ME=4，

∴MO=6﹣4=2，

∴点E的坐标是（4，2）；

（2）设直线BE的解析式为y=kx+b，

把B（6，6）和点E（4，2）的坐标代入函数解析式得： ，

解得：k=2，b=﹣6，

∴直线BE的解析式为y=2x﹣6，

令2x﹣6=0得：x=3，

∴点P的坐标为（3，0），∴OP=3，

∵四边形ABCO是正方形，

∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，

在△OCE和△BCE中，

OC=BC，∠OCE=∠BCE，CE=CE，

∴△OCE≌△BCE（SAS），

∴OE=BE，

在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB==3，

∴C△OPE =OE+PE+OP=3+PB=3+3．

“点睛”本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.