Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-3x+交y轴于点E，C为抛物线的顶点，直线AD：y=kx+b（k＞0）与抛物线相交于A，D两点（点D在点A的下方）．

（1）当k=2，b=-3时，求A，D两点坐标；

（2）当b=2-3k时，直线AD交抛物线的对称轴于点P，交线段CE于点F，求的最小值；

（3）当b=0时，若B是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC=CM．

Answer 1

【答案】（1）A（8，），D（2，）．（2）的最小值为．（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）将两函数解析式联立即可组成方程组，解方程组即可；

（2）设D（t，t2-3t+），N（t，-t+），得出ND=-t2+t=-（t-）2+，即可求出最大值；

（3）设点A、D的坐标分别为A（x1，y1）、D（x2，y2），设P、M的坐标分别为P（3，n），M（3，m），连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，则DG∥AB∥x轴，得到方程②③④，将②、③、④代入①中，得m=-3k即可．

试题解析：（1）当k=2，b=-3时，直线方程化为y=2x-3，

联立两方程可得，

解得，；

可知，A（8，），D（2，）．

（2）∵y=（x-3）2，

∴点P的横坐标为3，

当x=3，b=2-3k时，y=2，

∴点P的坐标为（3，2），

∵CE的解析式为y=-x+，

过点D作DN∥PC交CE于点N，如图1，

∴，

设D（t， t2-3t+），N（t，-t+），

∴ND=-t2+t=-（t-）2+，

当t=时，ND的最大值为．

∴的最小值为．

（3）设点A、D的坐标分别为A（x1，y1）、D（x2，y2），设P、M的坐标分别为P（3，n），

M（3，m），

∵点A、D在直线y=kx与抛物线的交点，

∴kx1=x12-3x1+，kx2=x22-3x2+，

∴x1、x2是方程x2-3x+=0的两根．

∴x1+x2=6+2k，x1x2=9，

连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，

则DG∥AB∥x轴，

∴，，

∵BH=AH，

∴，

即，

∴（y2-m）（y1-n）=（y1-m）（n-y2），

整理得2y1y2+2mn=（y1+y2）（m+n）①，

∵x1+x2=6+2k，x1x2=9，

∴y1y2=k2x1x2=9k2②，y1+y2=6k+2k2③，

∵点P（3，n）在直线y=kx上，

∴n=3k④，

将②、③、④代入①中，得m=-3k，

∵定点C的坐标为（3，0），

∴PC=MC．