Question

【题目】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD= ，CE平分∠BCD，交边AD于点E，联结BE并延长，交CD的延长线于点P．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）求PE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：过D作DF⊥BC于F，

则四边形ABFD是矩形，

∴DF=AB=4，BF=AD=8，

∵sin∠BCD= = ，

∴CD=5，

∴CF=3，

∴梯形ABCD的周长=4+8+3+5+8=27

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE，

∴∠DEC=∠DCE，

∴DE=CD=5，

∴AE=3，

∴BE= =5，

∵DE∥BC，

∴△PED∽△PBC，

∴ ，

即 ，

∴PE= ．

【解析】（1）过D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质得到DF=AB=4，BF=AD=8，根据三角函数的定义得到CD=5，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DEC=∠BCE，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE，等量代换得到∠DEC=∠DCE，于是得到DE=CD=5，由勾股定理得到BE= =5，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的梯形的定义和相似三角形的判定与性质，需要了解一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．