Question

【题目】如图，AB、CD为 O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使 PED= C.

（1）求证：PE是 O的切线；
（2）求证：ED平分 BEP；
（3）若 O的半径为5，CF=2EF，求PD的长.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；

（2）

证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，AE//CD，
∴∠PED=∠1=∠3=∠4，
即ED平分∠BEP.

（3）

解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x-5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x-5）2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD-CF=10-8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴=，即=，

∴PF=，

∴PD=PF-DF=-2=．

【解析】（1）连接OE．要证明PE是 ⊙ O的切线，则要证明∠OEP=∠CED=90°，则需要证明 ∠PED=∠2，而∠1=∠2．∠PED=∠1，可证得；
（2）根据同角的余角相等，可得∠3=∠4，又由∠PED=∠1，AE//CD，可得∠PED=∠1=∠3=∠4，即可证得；
（3）设EF=x，则CF=2x，根据勾股定理OE2=OF2+EF2 ， 求出EF，BE，CF，DF；根据∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，得到△AEB∽△EFP，从而根据相似三角形的性质求得PF，则PD=PF-DF.
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和相似三角形的判定与性质，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．