Question

【题目】如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．

（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，

∴∠ADB=60°，

由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，

∴AD∥B'C'

∴四边形AB'C'D是平行四边形，

∵B'为BD中点，

∴Rt△ABD中，AB'= BD=DB'，

又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等边三角形，

∴AD=AB'，

∴四边形AB'C'D是菱形；

（2）4
（3）解：将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：

∴矩形周长为6+ 或2 +3．

【解析】（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，

∴AB∥C'D'，

∴四边形ABC'D'是平行四边形，

由（1）可得，AC'⊥B'D，

∴四边形ABC'D'是菱形，

∵AB= AD= ，

∴四边形ABC'D′的周长为4 ，

所以答案是：4 ；

【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对平移的性质的理解，了解①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．