Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点分别在轴的正半轴和x轴的正半轴上，的面积为，过点作直线轴.

（1）求点的坐标；

（2）点是第一象限直线上一动点，连接.过点作，交轴于点D，设点的纵坐标为，点的横坐标为，求与的关系式；

（3）在（2）的条件下，过点作直线，交轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）与的关系式：；（3）点的坐标为或.

【解析】

（1）由OA=OB，根据面积求出OA的长即可得A点坐标；（2）分0<d<6，d>6，d=6三种情况，当0<d<6时，过C作CH⊥x轴，根据锐角互余的关系可得∠CBH=∠BDO，利用AAS可证明△CBH≌△BDO，进而可得OD=BH，根据OH=AC=d，OH+HB=OB可得d-t=6，同理可得d>6，d=6时，d-t=6；（3）当0<d<6时，由OA=OB，∠AOB=90°，可得∠OAB=∠OBA=45°，在中，，可得AE=AD，根据OD=BH，AC=OH，CE=AE+AC可求出CE的长，进而可得OF的长，根据OF=OD可求出t的值，根据（2）所得关系式可求出AC的长进而可得AE的长，即可求出E点坐标，同理可求出d>6时E点坐标，当d=6时，E点不存在.

（1）如图的面积为，

∴，

∵OA=OB，

∴OA2=36，

∴OA=6

∴点的坐标为

（2）①当0<d<6时，如图1，此时t<0，

∴，

∴

在中，

∴∠CBH=∠BDO，

∵∠CHB=∠BOD=90°，

∴△CBH≌△BDO，

∴OD=BH，

∵OH=AC=d，OH+HB=OB，

∴d-t=6.

同理，当时，如图2，可得CH=OD，

∴AC=AH+CH=6+OD，

∴，

当时，，

∴d-t=6，

当时，

∴与的关系式为d-t=6.

（3）当时，如图

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵DE//AB，

∴∠EDA=∠BOA=45°，

在中，，

∴AE=AD，

∴，

∴

∴，

∴t=-2，

∴d-(-2)=6，

∴d=4，即AC=4，

∴EA=CE-AC=12-4=8，

∴点的坐标为

同理，当时，如图，可得CE=12.OD=OF==2，

∴t=2，

∴d-2=6，

∴d=8，即AC=8，

∴AE=12-8=4，

点的坐标为，

当时，点不存在，

综上，点的坐标为或