Question

【题目】已知，点是等边内的任一点，连接，，．

如图，已知，，将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，得．

（）的度数是__________．

（）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（图为备用图）

Answer 1

【答案】（）；（），证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得∠AOC=360°-150°-120°=90°，由旋转的性质易得：∠ADC=∠BOC=120°，∠DCO=60°，结合四边形的内角和为360°即可得到∠DAO=360°-90°-60°-120°=90°；

（2）如图3，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，由旋转的性质可知AD=BO，CD=CO，∠OCD=60°，由此可得△OCD是等边三角形，从而可得OC=OD，结合（1）中结论∠DAO=90°由勾股定理即可得到：OB2+OA2=OC2.

试题解析：

（1）∵△ADC是由△BOC绕点C顺时针旋转60°得到的，

∴∠ADC=∠BOC=120°，∠DCO=60°，

又∵∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-150°-120°=90°，

∴在四边形AOCD中，∠DAO=360°-120°-60°-90°=90°；

（）．理由如下：

如图3，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，由旋转的性质可知AD=BO，CD=CO，∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形，

∴OC=OD，

由（1）可知∠DAO=90°，

∴在Rt△DAO中，，

∴OA2+OB2=OC2.