Question

【题目】己知长方形，为坐标原点，点坐标为，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，设，已知点在第一象限且是直线上一点，若是等腰直角三角形．

（）求点的坐标并写出解题过程．

（）直角向下平移个单位后，在该直线上是否存在点，使是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（）；（）存在点，使为等腰直角三角形，坐标为，，．

【解析】试题分析：

（1）由点D和点A都在直线y=2x+6上可知，若△APD是等腰直角三角形，则只能是点A为直角顶点，如图，过点D作DE⊥y轴于点E，则易证≌，由此可得，，从而可得点D的坐标为（6-m，14），将D的坐标代入y=2x+6中，解得m的值，即可得到点D的坐标；

（2）将直线y=2x+6向下平移12个单位所得新直线的解析式为：y=2x-6，由图可知，点A、P在直线y=2x-6两侧，故当△APD为等腰直角三角形时，存在∠ADP=90°，∠APD=90°两种可能情况，其中当∠ADP=90°时，又存在点D在点A的上方和下方两种情况，如图2、图3和图4，然后结合已知条件进行推理计算即可.

试题解析：

（）∵点A、D都在直线y-2x+6上，

∴当△APD是等腰直角三角形时，只能是点A为直角顶点，

如图1：过作轴于，轴于，

∵，

∴≌，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

代入中得：-2m+6=14，解得：m=2，

∴；

（）存在点，使为等腰直角三角形，

直线向下平移个单位后变成，

当时，

①、如图2所示，过作交、于、，

∵，，

∴≌，

∴，，

设，

∴，，

∴，

，

∴

．

∴，

代入中得，

，

∴．

②如图3所示：

过作平行线交延长线于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中得，

，

∴．

③当时，如图4，过作，交其垂线于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中，

，

∴，

综上所述，点D的坐标为，，．