Question

【题目】如下图，和是等腰直接角三角形，，点为边上一点，连接，交于点，点恰好是中点，连接.

（1）求证：；

（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系。

①写出AN与EM:位置关系___；数量关系___；

②请证明上述结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①AN⊥EM,AN=EM；②见解析；

【解析】

（1）由∠CED=∠BCE=90°，可证得BC∥DE，然后由点N恰好是BD中点，利用ASA可证得△BMN≌△DEN，继而证得结论；

（2）首先连接AM，AE，由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易证得△ABM≌△ACE，则可证得△AME是等腰直角三角形，继而证得AN⊥EM，AN=EM．

(1)证明：∵∠CED=∠BCE=90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN=∠EDN，

∵点N恰好是BD中点，

∴BN=DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN(ASA)，

∴MN=EN；

(2)①位置关系：AN⊥EM,数量关系：AN=EM.

故答案为：AN⊥EM,AN=EM.

②证明：连接AM，AE，

∵△BMN≌△DEN，

∴BM=DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB=AC,∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，

∴BM=CE，

∵∠BCE=90°，

∴∠ACE=45°，

∴∠ABM=∠ACE，

在△ABM和△ACE中，

，

∴△ABM≌△ACE(SAS)，

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，

∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，

即∠MAE=∠BAC=90°，

∵MN=EN，

∴AN⊥EM,AN=EM.