Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN.

(1)若△BMN与△ABC相似，求t的值；

(2)连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

【答案】 (1) △BMN与△ABC相似时，t的值为或；(2) .

【解析】试题分析：(1)、根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，然后用含t的代数式分别表示BM、CN和BN的长度，然后根据两种不同的相似得出t的值，得出答案；(2)、过点M作MD⊥CB于点D，从而得出△BDM和△BCA相似，从而求出DM、BD和CD的长度，然后根据垂直得出△CAN和△DCM相似，从而得出t的值．

试题解析：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴BA＝＝10(cm)．

由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm.

当△BMN∽△BAC时，＝， ∴＝，解得t＝；

当△BMN∽△BCA时，＝， ∴＝，解得t＝.

综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为或；

(2)如图，过点M作MD⊥CB于点D，

∴∠BDM＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDM∽△BCA，

∴＝＝. ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，

∴DM＝tcm，BD＝tcm， ∴CD＝cm.

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，

∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB， ∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM，

∴＝， ∴＝， 解得t＝．