Question

【题目】如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠B=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，

∴AM是⊙O的切线

（2）

解：∵∠3=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，

∵∠OAM=90°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AC=2CD=4，

∴AD=2 ，

∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣

【解析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2 ，于是得到结论．