Question

【题目】如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，，过点作，且点为边延长线上一点．

（1）吗？说明理由．

（2）若线段，，求线段的长度．

（3）若，，求线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12；（3）EF=10

【解析】

（1）通过正方形的性质可得AB=AD、∠ABG =∠D，即可证明△GAB≌△FAD．

（2）通过证明△GAE≌△FAE(SAS)和△GAB≌△FAD，可得EF=GE和GB=DF，从而可得EF=GE=GB+BE=FD+BE=8+4=12．

（3）设EF=x，则BE=GEBG=x4，根据EC=BCBE可得EC=12(x4)=16x，根据勾股定理列方程求解即可．

（1）全等．

证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠ABE=∠D=90，

∴∠ABG =90=∠D

在△ABG和△ADF中，

∴△GAB≌△FAD．

（2）∵∠BAD=90，∠EAF=45

∴∠DAF+∠BAE=45

∵△GAB≌△FAD

∴∠GAB=∠FAD，AG=AF

∴∠GAB+∠BAE=45

∴∠GAE=45

∴∠GAE=∠EAF

在△GAE和△FAE中

∴△GAE≌△FAE(SAS)

∴EF=GE．

∵△GAB≌△FAD

∴GB=DF

∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=8+4=12．

（3）设EF=x，则BE=GEBG=x4．

∵EC=BCBE，

∴EC=12(x4)=16x．

在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：

EF2=FC2+EC2，

即(16x) 2+82=x2，

解得：x=10．

∴EF=10．