Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CD，

∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即点D是AB的中点

（2）解：DE是⊙O的切线．

证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA= ，

∵cosB= ，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA= ，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE= ．

【解析】（1）连接CD，利用圆周角定理得出CD⊥AB，又由等腰三角形的三线合一得出点D是AB的中点；（2）连接OD，则DO是△ABC的中位线，利用中位线定理得DO∥AC，又因DE⊥AC从而得出DE⊥DO，进而得出结论；（3）根据余弦的定义得出BD的长度，从而得出AD的长度，再根据等角的余弦相等得出AE的长度，最后用勾股定理得出答案。