Question

【题目】如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．

（1）求证：AE＝CE；

（2）若BC＝，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝2+.

【解析】

（1）由旋转的性质可得∠BAC=∠CDF，可证DF垂直平分AC，可得AE=CE；

（2）由全等三角形的性质可得BE=CE=，由勾股定理可求CE=AE=2，即可求AB的长．

（1）∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，

∴△ABC≌△DBE，

∴∠BAC＝∠CDF，

∵∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠CDF+∠ACB＝90°，

∴DF⊥AC，且点F是AC中点，

∴DF垂直平分AC，

∴AE＝CE；

（2）∵△ABC≌△DBE，

∴BE＝CE＝，

∴CE＝AE＝2，

∴AB＝AE+BE＝2+.