Question

【题目】如图，内接于，是弧的中点，交于点，且，连接，过点作于点，连接，于，若，，则________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，延长BE交AC的延长线于N，连接OB、OC、BD．首先证明AB=AN，推出AB=8，再证明△OBD是等边三角形，推出∠BAC=60°，利用勾股定理分别求出BM、BC，再利用△AMF∽△BMC，得=，即可解决问题．

如图，延长BE交AC的延长线于N，连接OB、OC、BD．

∵=，∴∠EAB=∠EAN．

∵AD⊥BN，∴∠AEB=∠AEN=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠N+∠EAN=90°，∴∠ABE=∠N，∴AB=AN，∴BE=EN．

∵OD⊥BC，∴BH=HC，∴CN=2EH=3，∴AB=AN=AC+CN=8．

∵OH=HD，BH⊥OD，∴BO=BD=OD，∴∠BOD=∠DOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=60°．

∵BF⊥AC，∴∠AMB=90°，∴∠ABM=30°．在Rt△AMB中，AM=AB=4，BM=4．在Rt△BMC中，BC===7．

∵∠MAF=∠MBC，∠AMF=∠BMC，∴△AMF∽△BMC，∴=，∴=，∴AF=．

故答案为：．