Question

【题目】已知，△ABC是等边三角形，将直角三角板DEF如图放置，其中∠F＝30°，让△ABC在直角三角板的边EF上向右平移（点C与点F重合时停止）．

（1）如图1，当点B与点E重合时，点A恰好落在直角三角板的斜边DF上，证明：EF＝2BC．

（2）在△ABC平移过程中，AB，AC分别与三角板斜边的交点为G、H，如图2，线段EB＝AH是否始终成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立．理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB＝60°，AC＝BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF＝60°30°＝30°，则CF＝AC，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH＝CF．根据（1）中的结论，知EB＋CF＝AC，从而证明结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵∠F＝30°，

∴∠CAF＝60°﹣30°＝30°，

∴∠CAF＝∠F，

∴CF＝AC，

∴CF＝AC＝EC，

∴EF＝2BC；

（2）线段EB＝AH始终成立，

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵∠F＝30°，

∴∠CHF＝60°﹣30°＝30°，

∴∠CHF＝∠F，

∴CH＝CF，

∵EF＝2BC，

∴EB+CF＝BC，

又∵AH+CH＝AC，AC＝BC，

∴EB＝AH．