Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的 ，都存在x0∈（0，1]使得不等式 成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，得 ，

令h（x）=2x2﹣2ax+1．

①当a≤0时，h（x）＞0，则f'（x）＞0成立，

△=4a2﹣8，当 时，△≤0，则2x2﹣2ax+1≥0，h（x）≥0，即f'（x）≥0恒成立，

∴当 时，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当 时，由2x2﹣2ax+10≥0，得 或 ，

由2x2﹣2ax+10＜0，得 ．

∴f（x）在 上单调递增，在 单调递减；

（2）解：∵ ，

∴f'（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2﹣2a，

存在x0∈（0，1]使得不等式 成立，

即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），

∵任意的 ，∴a﹣a2＜0，即 恒成立，

令 ，则 ，

∵任意的 ， ，

∴ 是增函数，

∴ ，

∵ 恒成立，

∴实数m的取值范围 ．

【解析】（1）求出原函数的导函数，当a≤0时，导函数恒大于0，然后利用二次函数的判别式对a分类讨论求出导函数在不同区间内的符号，得到原函数的单调性；（2）由（1）知， 时，函数f（x）在（0，1]上单调递增，求出函数在（0，1]上的最大值2﹣2a，把存在x0∈（0，1]使得不等式 成立转化为2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），得到 恒成立，构造函数 ，求导可知为增函数，得其最大值，则实数m的取值范围可求．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．